Question:
Prove that sin^2 (x+y)=cos^2 x + cos^2 y - 2cos x cos y cos (x+y)
Answer:
We have to prove that:
sin2 (x+y)=cos2 x + cos2 y - 2cos x*cos y*cos (x+y)
RHS:
cos2 x + cos2 y - 2cos x*cos y*cos(x+y) {since cos(x+y) = cos x*cos y - sin x*sin y }
= cos2 x + cos2 y - 2cos x*cos y*(cos x*cos y - sin x*sin y)
= cos2 x + cos2 y - 2cos2 x*cos2 y + 2cos x*cos y* sin x*sin y
= cos2 x + cos2 y - cos2 x*cos2 y - cos2 x*cos2 y + 2cos x*cos y* sin x*sin y
= (cos2 x - cos2 x*cos2 y) + (cos2 y - cos2 x*cos2 y) + 2cos x*cos y* sin x*sin y
= cos2 x(1- cos2 y) + cos2 y(1 - cos2 x) + 2cos x*cos y* sin x*sin y
= sin2 y*cos2 x + sin2 x*cos2 y + 2cos x*cos y* sin x*sin y (since sin2 x + cos2 x = 1 )
= sin2 x*cos2 y + sin2 y*cos2 x + 2cos x*cos y* sin x*sin y
= (sin x*cos y)2 + (sin y*cos x)2 + 2cos x*cos y* sin x*sin y
= (sin x*cos y + sin y*cos x)2
= {sin (x + y)}2
= sin2 (x + y)
= LHS
So sin2 (x+y)=cos2 x + cos2 y - 2cos x*cos y*cos (x+y)
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